若 \( {11} - {4k} < 0 \) ，即当 \( k > {11}/4 \) 时；使方程无实根的最小整数值 \( k \) 为3。
3. 解绝对值方程
对任意实数 \( x \) 和 \( y : \left| x\right| = \left| y\right| \) ，当且仅当 \( x = y \) 或 \( x = - y \) 。
对任意实数 \( x \) 和 \( y : \left| {x - y}\right| = \left| {y - x}\right| \) 。
例9.(2004 AMC 10 A)若 \( \left| {x - 1}\right| = \left| {x - 2}\right| \) ，则 \( x \) 的值为多少？
(A) \( - \frac{1}{2} \) 。(B) \( \frac{1}{2} \) (C) 1 (D) \( \frac{3}{2} \) (E) 2
解答:(D)。
方法1(官方解答):
该方程意味着 \( x - 1 = x - 2 \) 或 \( x - 1 = - \left( {x - 2}\right) \) 。第一个
方程无解，第二个方程的解为 \( x = \frac{3}{2} \) 。
方法2(官方解答):
由于 \( \left| {x - a}\right| \) 是 \( x \) 到 \( a, x \) 的距离，因此它必须与1和2等距。
故 \( x = \frac{3}{2} \) 。
方法3(我们的解法):
两边平方以消去绝对值符号: \( {\left( x - 1\right) }^{2} = {\left( x - 2\right) }^{2} \Rightarrow \)
\( {x}^{2} - {2x} + 1 = {x}^{2} - {4x} + 4 \Rightarrow {4x} - {2x} = 4 - 1 \Rightarrow {2x} = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}. \)
例10.(AMC)符号 \( \left| x\right| \) 表示:若 \( x \) 非负则为 \( x \) ，若 \( x \) 非正则为 \( - x \) 。于是关于 \( {\left| x\right| }^{2} + \left| x\right| - 6 = 0 \) 的解我们可以说:
(A) 只有一个根 (B) 根的和为+1
(C) 根的和为0 (D) 根的积为+4
(E) 根的积为-6
解答:(C)。
方法1:
若 \( x > 0,{x}^{2} + x - 6 = 0;\left( {x - 2}\right) \left( {x + 3}\right) = 0 \) ；
\( x + 3 \neq 0;x = 2 \) .
若 \( x < 0,{x}^{2} + x - 6 = 0;\left( {x - 3}\right) \left( {x + 2}\right) = 0 \) ；
\( x - 3 \neq 0;x = - 2 \) ;
方法2:
\( \left( {\left| x\right| + 3}\right) \left( {\left| x\right| - 2}\right) = 0;\left| x\right| + 3 \neq 0; \)
\( \therefore \left| x\right| = 2 \) ，即 \( x = 2 \) 或-2。
方法3(我们的解法):
原方程可写为 \( 6 - {x}^{2} = \left| x\right| \) 。
由于 \( \left| x\right| \geq 0,{x}^{2} - 6 \leq 0 \) 。
所以 \( - \sqrt{6} \leq x \leq \sqrt{6} \) 。
这意味着两个根关于 \( x = 0 \) 对称且符号相反。其和为0，故答案为(C)。
例11. 方程 \( x\left| x\right| - 3\left| x\right| + 2 = 0 \) 的实数解个数为
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
答案:(D)。
情况 \( 1 : x \geq 0 \) 。
\[ x\left| x\right| - 3\left| x\right| + 2 = 0\; \Rightarrow {x}^{2} - {3x} + 2 = 0\; \Rightarrow \left( {x - 2}\right) \left( {x - 1}\right) = 0 \]
解得 \( {x}_{1} = 2 \) 和 \( {x}_{2} = 1 \) 。
情况 \( 2 : x \leq 0 \) 。
\( x\left| x\right| - 3\left| x\right| + 2 = 0\; \Rightarrow - {x}^{2} + {3x} + 2 = 0\; \Rightarrow {x}^{2} - {3x} - 2 = 0 \)
解得 \( x = \frac{3 \pm \sqrt{{\left( -3\right) }^{2} + 4 \cdot 2}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2} \) 。但 \( x = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} > 0 \) (舍去)。
因此该方程共有3个解。
例12. 方程 \( \left| {a - b}\right| + {ab} = 1 \) 的非负整数解对数为
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
答案:(D)。
已知 \( {ab} \geq 0 \) 且 \( \left| {a - b}\right| \geq 0 \) 。
于是有
情况1:
\[ \left\{ {\begin{array}{l} \left| {a - b}\right| = 1 \\ {ab} = 0 \end{array}\; \Rightarrow \;\left\{ \begin{array}{l} a = 0 \\ b = 1 \end{array}\right. }\right. \]
情况2:
\[ \left\{ {\begin{array}{l} \left| {a - b}\right| = 0 \\ {ab} = 1 \end{array}\; \Rightarrow \;\left\{ \begin{array}{l} a = 1 \\ b = 1 \end{array}\right. }\right. \]
答案为(D)。
4. 解根式方程
含有根号符号的方程称为根式方程。
符号 \( \sqrt[n]{} \) 称为根号(radical sign)。表达式 \( \sqrt[n]{a} \) 是一个根式(radical)。数 \( a \) 称为被开方数(radicand)， \( n \) 是一个正整数，称为根式 \( \sqrt[n]{a} \) 的指数(index)。
在实数系中，我们有 \( \sqrt{x} \geq 0 \) 和 \( x \geq 0 \) 。
解根式方程最常见的方法是将方程两边平方，从而消去根号。所有解都需要检验，以确保 \( x \geq 0 \) 。
例13. (AMC 12) 方程 \( 2\sqrt{x} + 2{x}^{-\frac{1}{2}} = 5 \) 的根可通过求解下列哪一项得到:(A) \( {16}{x}^{2} - {92x} + 1 = 0 \) (B) \( 4{x}^{2} - {25x} + 4 = 0 \) (C) \( 4{x}^{2} - {17x} + 4 = 0 \) (D) \( 2{x}^{2} - {21x} + 2 = 0 \) (E) \( 4{x}^{2} - {25x} - 4 = 0 \) 解答:(C)。方法1(官方解答): \( 2\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} = 5 \) 。两边平方，得到 \( {4x} + 8 + \frac{4}{x} = {25} \) 。方程两边同乘 \( x \) ，得到 \( 4{x}^{2} - {17x} + 4 = 0 \) 。
方法2(我们的解答):
\( 2\sqrt{x} + 2{x}^{-\frac{1}{2}} = 5\; \Rightarrow \;2\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} = 5\; \Rightarrow \;\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{5}{2}. \)
两边平方，得到 \( x + \frac{1}{x} + 2 = \frac{25}{4} \Rightarrow x + \frac{1}{x} = \frac{17}{4} \) 。
方程两边同乘 \( x \) ，得到 \( 4{x}^{2} - {17x} + 4 = 0 \) 。
例14. (AMC 12) 方程 \( \sqrt{x + {10}} - \frac{6}{\sqrt{x + {10}}} = 5 \) 具有:
(A) 一个介于-5与-1之间的增根
(B) 一个介于-10与-6之间的增根
(C) 一个介于20与25之间的真根
解答:(B)。
方法1(官方解答):
方程两边同乘 \( \sqrt{x + {10}} \cdot x + {10} - 6 = 5\sqrt{x + {10}},{x}^{2} - {17x} - \) ， \( {234} = 0, x = {26} \) 或 \( - 9. - 9 \) 不成立，即它是一个增根。
方法2(我们的解答):
\[ \sqrt{x + {10}} - \frac{6}{\sqrt{x + {10}}} = 5\; \Rightarrow \frac{x + {10} - 6}{\sqrt{x + {10}}} = 5\; \Rightarrow x + 4 = 5\sqrt{x + {10}}. \]
两边平方，得到 \( {\left( x + 4\right) }^{2} = {25}\left( {x + {10}}\right) \Rightarrow {x}^{2} + {8x} + {16} = {25x} + {250} \Rightarrow \)
\( {x}^{2} - {17x} - {234} = 0\; \Rightarrow \left( {x - {26}}\right) \left( {x + 9}\right) = 0 \) .
解得: \( {x}_{1} = {26},{x}_{2} = - 9 \) (已忽略)。
例15.(2011 AMC 10B)方程 \( \sqrt{5\left| x\right| + 8} = \sqrt{{x}^{2} - {16}} \) 的所有根之积是多少？
(A)-64(B)-24(C)-9(D)24(E)576
答案:(A)。
方法1(官方解法):
方程右侧仅在 \( \left| x\right| \geq 4 \) 时有定义。若 \( x \geq 4 \) ，方程等价于 \( {5x} + 8 = {x}^{2} - {16} \) ，且满足 \( x \geq 4 \) 的唯一解为 \( x = 8 \) 。若 \( x \leq - 4 \) ，方程等价于 \( 8 - {5x} = {x}^{2} - {16} \) ，且满足 \( x \leq - 4 \) 的唯一解为 \( x = - 8 \) 。所有解的乘积为 \( - 8 \cdot 8 = - {64} \) 。
方法2(我们的解法):
\( \sqrt{5\left| x\right| + 8} = \sqrt{{x}^{2} - {16}} \Rightarrow 5\left| x\right| + 8 = {x}^{2} - {16} \Rightarrow 5\left| x\right| + 8 = {x}^{2} - 5\left| x\right| - {24} = 0. \)
设 \( {x}^{2} = {\left| x\right| }^{2} \) 。原方程可写为 \( {\left| x\right| }^{2} - 5\left| x\right| - {24} = 0\; = \)
\( \left( {\left| x\right| + 3}\right) \left( {\left| x\right| - 8}\right) = 0. \)
已知 \( \left( {\left| x\right| + 3}\right) \neq 0 \) 。因此 \( \left| x\right| - 8 = 0\; \Rightarrow \;x = 8 \) 或 \( x = - 8 \) 。
所有解的乘积为 \( - 8 \cdot 8 = - {64} \) 。
例16. 已知 \( {x}^{2} + {y}^{2} = {10},\sqrt[4]{xy} + \sqrt{xy} + {27} = {29}, x > 0 \) 且 \( y > 0 \) 。求 \( x + y \) ？
(A) \( 2\sqrt{3} \) (B) \( 3\sqrt{3} \) (C) \( \% \) (D) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) (E)8。
答案:(A)。
设 \( \sqrt[4]{xy} = m \) 。
\[ \sqrt[4]{xy} + \sqrt{xy} + {27} = {29} \Rightarrow {m}^{2} + m + {27} = {29} \Rightarrow {m}^{2} + m - 2 = 0 \]
\( \Rightarrow \;\left( {m - 1}\right) \left( {m + 2}\right) = 0 \)
解得 \( m : m = 1 \) ( \( \left( {m = - 2\text{ignored}}\right) \)
于是有 \( \sqrt[4]{xy} = 1\; \Rightarrow \;{xy} = 1 \Rightarrow \;{2xy} = 2 \) (1)
考虑到 \( {x}^{2} + {y}^{2} = {10} \) ，我们有 \( {x}^{2} + {2xy} + {y}^{2} = {10} + 2 \) ，或 \( {\left( x + y\right) }^{2} = {12} \) 。
根据答案，我们知道 \( x + y = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \) 。
例17.(AIME)方程的实根之积是多少？
\( {x}^{2} + {18x} + {30} = 2\sqrt{{x}^{2} + {18x} + {45}}. \)
解答:20。
方法1:
代换以简化。定义 \( u \) 为非负数，使得
\( {u}^{2} = {x}^{2} + {18x} + {45} \) 。因此 \( {u}^{2} - {15} = 2\sqrt{{u}^{2}} = {2u} \) (因为 \( u \geq 0 \) )。
\( {u}^{2} - {2u} - {15} = 0\; \Rightarrow \;\left( {u - 5}\right) \left( {u + 3}\right) = 0. \)
由于 \( u \geq 0 \) ，我们有 \( u = 5 \) 。
\( {x}^{2} + {18x} + {45} = {5}^{2}\; \Rightarrow \;{x}^{2} + {18x} + {20} = 0. \)
由于 \( \Delta = {18}^{2} - 4 \times {20} > 0 \) ，方程有实根，其积为20。
方法2(我们的解法):
原方程可写为 \( {x}^{2} + {18x} + {45} - 2\sqrt{{x}^{2} + {18x} + {45}} - {15} = 0 \)
\( \Rightarrow \;\left( {\sqrt{{x}^{2} + {18x} + {45}} + 3}\right) \left( {\sqrt{{x}^{2} + {18x} + {45}} - 5}\right) = 0 \)
因此我们有 \( \sqrt{{x}^{2} + {18x} + {45}} + 3 = 0 \) (无实根)或 \( \sqrt{{x}^{2} + {18x} + {45}} - 5 = 0 \)
\( \Rightarrow \;\sqrt{{x}^{2} + {18x} + {45}} = 5 \Rightarrow {x}^{2} + {18x} + {45} = {25} \Rightarrow {x}^{2} + {18x} + {20} = 0 \) .
由于 \( \Delta = {18}^{2} - 4 \times {20} > 0 \) ，方程有实根，其积为20。
5. 解有理方程
多项式函数之比构成的方程称为有理方程。
若 \( p\left( x\right) \) 和 \( q\left( x\right) \) 为多项式且 \( q\left( x\right) \neq 0 \) ，则 \( f\left( x\right) = p\left( x\right) /q\left( x\right) = 0 \) 定义了一个有理方程。
定义域为所有实数，但使分母 \( q \) 为零的数除外。
解有理方程最常用的方法是消去分母。所有解都需检验，以确保 \( q\left( x\right) \neq 0 \) 。
例18. 亚历克斯、鲍勃和凯西一起工作，可在 \( x \) 小时内完成一项任务。若单独工作，亚历克斯需额外5小时，鲍勃需额外2小时，凯西需额外 \( x \) 小时。 \( x \) 的值为:(A) \( \frac{3}{5} \) (B) \( \frac{3}{10} \) (C) \( \frac{3}{2} \) (D) 1 (E) 2 解:(D)。亚历克斯、鲍勃和凯西的工作效率分别为 \( \frac{1}{x + 5},\frac{1}{x + 2} \) 、 \( \frac{1}{x + x} \) 。
由于三人合作可在 \( x \) 小时内完成任务，我们有
\[ x\left( {\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + x}}\right) = 1 \Rightarrow \;\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{2x} = \frac{1}{x} \]
\( \Rightarrow \;\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{x} - \frac{1}{2x}\; \Rightarrow \;\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{2x} \) .
方程两边同乘 \( {2x}\left( {x + 5}\right) \left( {x + 2}\right) \) ，得
\( {2x}\left( {x + 2}\right) + {2x}\left( {x + 5}\right) = \left( {x + 2}\right) \left( {x + 5}\right) \Rightarrow 2{x}^{2} + {4x} + 2{x}^{2} + {10x} = {x}^{2} + {7x} + {10} \)
\( \Rightarrow 3{x}^{2} + {7x} - {10} = 0 \Rightarrow \left( {{3x} + {10}}\right) \left( {x - 1}\right) = 0 \) .
解得: \( {x}_{1} = 1,{x}_{2} = - \frac{3}{10} \) (舍去)。
例19. 求满足 \( \frac{1}{1985} = \frac{1}{1 + {\left( 1 - \frac{1}{n}\right) }^{2}} \times \frac{1}{{n}^{2}} \) 的正数 \( n \) 。
(A) 15 (B) 21 (C) 32 (D) 28 (E) 31
解:(C)。
\[ \frac{1}{1985} = \frac{1}{1 + {\left( 1 - \frac{1}{n}\right) }^{2}} \times \frac{1}{{n}^{2}} \Rightarrow \frac{1}{1985} = \frac{1}{1 + {\left( \frac{n - 1}{n}\right) }^{2}} \times \frac{1}{{n}^{2}} \Rightarrow \frac{1}{1985} = \frac{1}{1 + \frac{{\left( n - 1\right) }^{2}}{{n}^{2}}} \times \frac{1}{{n}^{2}} \]
\[ \Rightarrow \;\frac{1}{1985} = \frac{1}{\frac{{n}^{2} + {\left( n - 1\right) }^{2}}{{n}^{2}}} \times \frac{1}{{n}^{2}}\; \Rightarrow \;\frac{1}{1985} = \frac{1}{{n}^{2} + {\left( n - 1\right) }^{2}} \]
\[ \Rightarrow \;{n}^{2} + {\left( n - 1\right) }^{2} = {1985} \Rightarrow \;{n}^{2} + {n}^{2} - {2n} + 1 = {1985} \]
\( \Rightarrow \;2{n}^{2} - {2n} - {1984} = 0\; \Rightarrow \;{n}^{2} - n - {992} = 0\; \Rightarrow \left( {n - {32}}\right) \left( {n + {31}}\right) = 0 \)
正数 \( n \) 为32。
例20. 求满足 \( {x}^{2} - x + 1 = \frac{6}{{x}^{2} - x} \) 的正实数 \( x \) 。(A) 1(B) 2 (C) 4 (D) \( \frac{6}{11} \) (E) \( \frac{3}{4} \)
解:(B)。
设 \( y = {x}^{2} - x \) ，则原方程化为: \( y + 1 = \frac{6}{y} \Rightarrow {y}^{2} + y - 6 = 0 \)
\[ \Rightarrow \left( {y - 2}\right) \left( {y + 3}\right) = 0 \]
于是 \( y = 2 \) 或 \( y = - 3 \) 。
于是得 \( {x}^{2} - x = - 3\; \Rightarrow \;{x}^{2} - x + 3 = 0 \) (无实数解)。
\( {x}^{2} - x = 2\; \Rightarrow \;{x}^{2} - x - 2 = 0 \) .
所以 \( x = 2 \) 或 \( x = - 1 \) 。
我们验证过，两者都是解。答案是 \( x = 2 \) 。
例21. 三个连续正整数的倒数之和为 \( \frac{47}{60} \) 。这三个连续正整数的和是多少？
(A) 12 (B) 13 (C) 15 (D) 24 (E) 36
解答:(A)。
设四个数为 \( x, x + 1 \) ，和 \( x + 2 \) 。
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 2} = \frac{47}{60} \]
我们知道 \( x < x + 1 < x + 2,\frac{1}{x} > \frac{1}{x + 1} > \frac{1}{x + 2} \) 。
所以我们有 \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} > \frac{47}{60} \Rightarrow \frac{3}{x} > \frac{47}{60} \Rightarrow \frac{1}{x} > \frac{47}{60} \times \frac{1}{3} \)
\( \Rightarrow x < \frac{180}{47} = 3\frac{39}{47} \)
我们还有 \( \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 2} < \frac{47}{60} \Rightarrow \frac{3}{x + 2} < \frac{47}{60} \Rightarrow x + 2 > \frac{180}{47} \)
\( \Rightarrow x > 1\frac{39}{47} \) .
因为 \( x \) 是整数， \( x \) 可以是2或3。
当 \( x = 2 \) 时，我们有: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{2 + 1} + \frac{1}{2 + 2} = \frac{13}{12} \) 。所以 \( \mathbf{x} = 2 \) 不是解。
只有当 \( x = 3 \) 时，我们才有 \( \frac{1}{3} + \frac{1}{3 + 1} + \frac{1}{3 + 2} = \frac{47}{60} \) 。
答案是 \( 3 + 4 + 5 = {12} \) 。
习题
习题1. 解方程 \( a = - 3\left( {x - {5b}}\right) \) ，求 \( x \) 。
(A) \( \frac{{15b} - a}{3} \) (B) \( \frac{{15b} + a}{3} \) (C) \( \frac{{3b} - a}{15} \) (D) \( \frac{{3b} + a}{15} \) (E) 以上都不是
问题2. 解 \( x : {a}^{2} + {ax} = 1 - x \) 。
(A) \( \frac{1 - {a}^{2}}{a + 1} \) (B) -1 1 (C) \( \frac{a + 1}{1 - {a}^{2}} \) (D) 无穷多个 (E) 以上都不是
问题3. 解 \( x : \frac{1}{3}m\left( {x - n}\right) = \frac{1}{4}\left( {x + {2m}}\right) \) 。
(A) \( \frac{m\left( {{4n} + 6}\right) }{{4m} - 3} \) (B) \( \frac{{4m} - 3}{m\left( {{4n} + 6}\right) } \) (C) 无实数值
(D) 无穷多个 (E) 以上都不是
问题4. 解 \( 5{x}^{2} = {10x} - 4 \) 。
(A) \( \frac{5 \pm 2\sqrt{5}}{5} \) (B) \( \frac{5 \pm 2\sqrt{3}}{5} \) (C) \( \frac{5 + 2\sqrt{5}}{5} \) (D) \( \frac{3 \pm 2\sqrt{3}}{5} \) (E) \( \frac{5 \pm 2\sqrt{5}}{3} \)
问题5. 直线 \( y = {12} - {2x} \) 与抛物线 \( y = 5 + {6x} - {x}^{2} \) 相交于两点。求这两点之间的距离。
(A) \( 6\sqrt{5} \) (B) 10 (C) \( 5\sqrt{2} \) (D) \( 8\sqrt{3} \) (E) 13
问题6. (2003 AMC 10A) 设 \( d \) 和 \( e \) 表示
\( 2{x}^{2} + {3x} - 5 = 0 \) 的解。求 \( \left( {d - 1}\right) \left( {e - 1}\right) /? \) 的值。
(A) \( - \frac{5}{2} \) (B) 0 (C) 3 (D) 5 (E) 6
问题7. (2005 AMC 10 B) 二次方程 \( {x}^{2} + {mx} + n = 0 \) 的根是 \( {x}^{2} + {px} + m = 0 \) 的根的两倍，且 \( m, n \) 和 \( p \) 均不为零。求 \( n/p \) 的值。
(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 (E) 16
问题8. 系数 \( n \) 取多少个值时，方程组
\( {x}^{2} + {nx} + 5 = 0, \)
\( {x}^{2} - {5x} - n = 0 \)
有公共实数解？
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 无穷多个
问题9. (AMC) 满足等式 \( \left| {x + 2}\right| = 2\left| {x - 2}\right| \) 的实数 \( x \) 的和为:
(A) \( \frac{1}{3} \) (B) \( \frac{2}{3} \) (C) 6 (D) \( 6\frac{1}{3} \) (E) \( 6\frac{2}{3} \)
问题10. 解 \( {x}^{2} - \left| x\right| - 1 = 0 \) 。
(A) \( \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \) 。 (B) \( \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \) (C) \( \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \) 或 \( \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \) (D) \( \pm \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \)
问题11. 方程 \( x\left| x\right| - 3\left| x\right| - 4 = 0 \) 的实数解个数为
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
问题12. (1988 AMC) 若 \( \left| x\right| + x + y = {10} \) 且 \( x + \left| y\right| - y = {12} \) ，求 \( x + y \) 。
(A) -2 (B) 2 (C) \( \frac{18}{5} \) (D) \( \frac{22}{3} \) (E) 22
问题13. 方程 \( 2\sqrt{x - 3} + 6 = x \) 的根个数为
(A) 10 (B) 12 (C) 13 (D) 14 (E) 16
问题14. 有多少个 \( a \) 的值使得 \( \frac{3}{1 - \sqrt{a - 2}} + \frac{3}{1 + \sqrt{a - 2}} = 6 \) ？
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
问题15. (AMC 12) 满足方程 \( \sqrt{5 - x} = \) \( x\sqrt{5 - x} \) 的根个数:
(A) 无限 (B) 3 (C) 2 (D) 1 (E) 0
问题16. \( \sqrt[3]{{x}^{2}} + \sqrt[3]{x} = 6 \) 的解之和是多少？
(A) -19 (B) -18 (C) 6 (D) 8 (E) 18
问题17. 设 \( m = \frac{a}{b} \) 为该方程的正实数解
\( 2{x}^{2} - {5x} - {2x}\sqrt{{x}^{2} - {5x} - 3} = {19}.a \) 与 \( b \) 为互质的正整数，求 \( a + b \) 。
(A) 32 (B) 24 (C) 19 (D) 34 (E) 56
问题18. 若干男孩合买一条独木舟，每人支付相同金额。若少两人，每人需多付 \( \ $ {3.00} \) ；若多一人，每人可少付 \( \ $ {1.00} \) 。问共有多少男孩？
(A) 12 (B) 14 (C) 10 (D) 8 (E) 11
问题19. 若 \( x + \frac{1}{y} = 2 \) 且 \( {2y} + \frac{1}{z} = 1 \) ，求乘积 \( {xyz} \) 的值。
(A) -1 (B) -2 (C) 1 (D) 2 (E) \( \frac{3}{4} \)
问题20. 求满足下式的正数 \( x \)
\( {x}^{2} + 6 - \frac{1}{x - 2} = \frac{5{x}^{2} - {10x} - 1}{x - 2}, \)
(A) 3 (B) 2 (C) 5 (D) \( \frac{1}{2} \) (E) \( \frac{3}{5} \)
问题21. 四个连续正整数的倒数之和为 \( \frac{19}{20} \) ，求这四个连续正整数之和。
(A) 18 (B) 23 (C) 25 (D) 34 (E) 36
解答:
问题1. 解答:(A)。
去括号: \( a = - {3x} + {15b} \)
分离变量: \( {3x} = {15b} - a \)
两边同时除以 \( 3 : x = \frac{{15b} - a}{3} \)
问题2。答案:(E)。
移项以分离变量: \( {ax} + x = 1 - {a}^{2} \) 。
合并同类项: \( \left( {a + 1}\right) x = 1 - {a}^{2} \) 。
情况I。当 \( \left( {a + 1}\right) \neq 0 \) 时，方程有唯一解: \( x = \frac{1 - {a}^{2}}{a + 1} \) 。
情况II。当 \( \left( {a + 1}\right) = 0, a = - 1 \) 且 \( 1 - {a}^{2} = 1 - 1 = 0 \) 时，方程有无穷多解。
问题3。答案:(E)。
情况I:当 \( m \neq 3/4 \) 时，方程有一个解。 \( x = \frac{m\left( {{4n} + 6}\right) }{{4m} - 3} \)
情况II:当 \( m = 3/4 \) 且 \( n = - 3/2 \) 时，方程有无穷多解。
情况III:当 \( m = 3/4 \) 且 \( n \neq - 3/2 \) 时，方程无解。
答案是(E)。
问题4。答案:(A)。
\( 5{x}^{2} = {10x} - 4\; \Rightarrow \;5{x}^{2} - {10x} + 4 = 0 \)
\( a = 5, b = - {10} \) ，且 \( c = 4 \) 。
\[ {x}_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{{b}^{2} - {4ac}}}{2a} = \frac{-\left( {-{10}}\right) \pm \sqrt{{\left( -{10}\right) }^{2} - 4 \times 5 \times 4}}{2 \times 5} = \frac{{10} \pm \sqrt{{100} - {80}}}{10} = \frac{5 \pm 2\sqrt{5}}{5} \]
问题5。答案:(A)。
首先应求出两点。于是 \( {12} - {2x} = 5 + {6x} - {x}^{2} \) ，化简得 \( {x}^{2} - {8x} + 7 = 0 \) ，因式分解得 \( \left( {x - 1}\right) \left( {x - 7}\right) = 0 \Rightarrow x = 1,7 \) ，交点为(1,10)与(7,-2)。因此这两点之间的距离为 \( \sqrt{{\left( 7 - 1\right) }^{2} + {\left( -2 - {10}\right) }^{2}} = \sqrt{{6}^{2} + {\left( -{12}\right) }^{2}} = \sqrt{{36} + {144}} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}. \)
问题6。答案:(B)。
方法1(官方解法):
由于 \( 0 = 2{x}^{2} + {3x} - 5 = \left( {{2x} + 5}\right) \left( {x - 1}\right) \) ，我们有 \( d = - \frac{5}{2} \) 和 \( e = 1 \) :
所以 \( \left( {d - 1}\right) \left( {e - 1}\right) = 0 \) 。
方法2(官方解法):
若 \( x = d \) 和 \( x = e \) 是二次方程 \( a{x}^{2} + {bx} + c = 0 \) 的根，
则 \( {de} = c/a \) 和 \( d + e = - b/a \) 。
对我们的方程而言，这意味着
\( \left( {d - 1}\right) \left( {e - 1}\right) = {de} - \left( {d + e}\right) + 1 = - 5/2 - \left( {-3/2}\right) + 1 = 0. \)
方法3(我们的解法):
\( a = 2, b = 3 \) ，且 \( c = - 5 \) 。
\( {x}_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{{b}^{2} - {4ac}}}{2a} = \frac{-\left( 3\right) \pm \sqrt{{\left( -3\right) }^{2} - 4 \times 2 \times \left( {-5}\right) }}{2 \times 4} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{-3 \pm 7}{4} \)
所以 \( e = \frac{-3 + 7}{4} = 1 \) 和 \( e - 1 = 1 - 1 = 0 \) 。因此答案为 \( \left( {d - 1}\right) \times 0 = 0 \) 。问题7。答案:(D)。
方法1(官方解法):
设 \( {r}_{1} \) 和 \( {r}_{2} \) 为 \( {x}^{2} + {px} + m = 0 \) 的根。由于 \( {x}^{2} + {mx} + n = 0 \) 的根为 \( 2{r}_{1} \) 和 \( 2{r}_{2} \) ，我们有以下关系:
\( m = {r}_{1}{r}_{2};n = 4{r}_{1}{r}_{2};p = - \left( {{r}_{1} + {r}_{2}}\right) \) ；且 \( m = - 2\left( {{r}_{1} + {r}_{2}}\right) \) 。
所以 \( n = {4m}, p = \left( {1/2}\right) m \) ，且 \( \frac{n}{p} = \frac{4m}{\frac{1}{2}m} = 8 \) 。
方法2(官方解法):
\( {\left( \frac{x}{2}\right) }^{2} + p\left( \frac{x}{2}\right) + m = 0 \) 的根是 \( {x}^{2} + {px} + m = 0 \) 的根的两倍。由于第一个方程等价于 \( {x}^{2} + {2px} + {4m} = 0 \) ，我们有 \( m = {2p} \) 和 \( n = {4m} \) ，因此 \( n/p = \) 8。方法3(我们的解法):
设 \( {2s} \) 和 \( {2t} \) 为 \( {x}^{2} + {mx} + n = 0 \) 的根。
我们有
\[ 4{s}^{2} + {2ms} + n = 0 \tag{1} \]
\[ 4{t}^{2} + {2mt} + n = 0 \tag{2} \]
\[ {s}^{2} + {ps} + m = 0 \tag{3} \]
\[ {t}^{2} + {pt} + m = 0 \tag{4} \]
(1) \( - \left( 2\right) : 4\left( {{s}^{2} - {t}^{2}}\right) + {2m}\left( {s - t}\right) = 0 \Rightarrow {2s} + {2t} + m = 0 \) (5)
(3) \( - \left( 4\right) : \left( {{s}^{2} - {t}^{2}}\right) + p\left( {s - t}\right) = 0 \Rightarrow s + t + p = 0 \) (6)
(5) \( - 2 \times \left( 6\right) : m = {2p} \) (7)
将(7)代入(1): \( 4{s}^{2} + {4ps} + n = 0 \) (8)
将(7)代入(3): \( {s}^{2} + {ps} + {2p} = 0 \) (9)
(8) \( - 4 \times \left( 9\right) : n - {8p} = 0\; \Rightarrow \;\frac{n}{p} = 8 \) .
问题8。解答:(B)。
将第二个给定方程减去第一个方程得到 \( {nx} + {5x} + \left( {5 + n}\right) = 0 \) ，或等价地 \( \left( {n + 5}\right) \left( {x + 1}\right) = 0 \) 。
因此， \( n = - 5 \) 或 \( x = - 1 \) 。
若 \( n = - 5 \) ，则给定方程完全相同，且(有两个复数解但)无实数解；
将 \( x = - 1 \) 代入 \( {x}^{2} + {nx} + 5 = 0 : {\left( -1\right) }^{2} - n + 5 = 0 \Rightarrow n = 6 \) 。
因此，6是 \( n \) 的唯一值，使得给定方程存在公共实数解。
问题9。解答:(E)。
方法1(官方解答):
若 \( x \geq 2 \) 或 \( x \leq - 2 \) ，则 \( x + 2 \) 和 \( x - 2 \) 同为非负或同为非正。于是给定方程等价于 \( x + 2 = 2\left( {x - 2}\right) \) ，或同样地 \( - \left( {x + 2}\right) = - \) \( 2\left( {x - 2}\right) \) 。
因此在此情形下， \( x = 6 \) 。
若 \( - 2 < x < 2 \) ，则 \( x + 2 \) 为正而 \( 2\left( {x - 2}\right) \) 为负，于是给定方程等价于 \( x + 2 = - 2\left( {x - 2}\right) , x = \frac{2}{3} \) 。
将这些值代入原方程后，可验证它们确为解。
满足给定方程的所有 \( x \) 值之和为 \( 6 + \frac{2}{3} = 6\frac{2}{3} \) 。
方法二(官方解法):
由于两个实数的绝对值相等当且仅当它们的平方相等，给定方程可推出 \( {x}^{2} + {4x} + 4 = 4\left( {{x}^{2} - {4x} + 4}\right) \) ，化简后得到实根的二次方程 \( 3{x}^{2} - {20x} + {12} = 0 \) 。其根之和为 \( - \left( {-\frac{20}{3}}\right) \) ，即 \( 6\frac{2}{3} \) 。方法三(我们的解法):
\[ \left| {x + 2}\right| = 2\left| {x - 2}\right| \]
两边平方以消去绝对值符号: \( {\left( x + 1\right) }^{2} = 4{\left( x - 2\right) }^{2} \Rightarrow \) \( {x}^{2} + {4x} + 4 = 4{x}^{2} - {16x} + {16} \Rightarrow 3{x}^{2} - {20x} + {12} = 0 \Rightarrow \left( {{3x} - 2}\right) \left( {x - 6}\right) = 0 \) \( \Rightarrow \;{x}_{1} = \frac{2}{3} \) 且 \( {x}_{2} = 6 \) 。
\[ {x}_{1} + {x}_{2} = \frac{2}{3} + 6 = \frac{20}{3}. \]
问题10。答案:(D)。
方法一:
\( {x}^{2} = {\left| x\right| }^{2} \) 。给定方程可写为 \( {\left| x\right| }^{2} - \left| x\right| - 1 = 0 \) 。
于是 \( \left| x\right| = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \) 。(注意 \( x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} < 0 \) 已被忽略)。
\[ x = \pm \frac{1 + \sqrt{5}}{2}. \]
方法二:
情况I:当 \( x \geq 0,\left| x\right| = x \) 。
于是原方程变为 \( {x}^{2} - x - 1 = 0 \) 。
解此二次方程，得: \( {x}_{1} = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \) ，及 \( {x}_{2} = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \) (增根
因为 \( x \geq 0 \) )。
情况II:
当 \( x < 0,\left| x\right| = - x \) 。
于是原方程变为 \( {x}^{2} + x - 1 = 0 \) 。
解这个二次方程，我们得到: \( {x}_{1} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2},{x}_{2} = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \) (增根，因为 \( x \)
\( < 0) \)
综合情况I和情况II，我们得到解为 \( x = \pm \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \) 。
方法3:
原方程可写为 \( {x}^{2} - 1 = \left| x\right| \) 。
由于 \( \left| x\right| \geq 0,{x}^{2} - 1 \geq 0 \) 。
所以 \( x \geq 1 \) 或 \( x \leq - 1 \) 。
这意味着根不在-1与1之间。因此 \( \left( A\right) ,\left( B\right) ,\left( C\right) \) 可被排除，得到答案(D)。
问题11。解答:(B)。
情况 \( 1 : x \geq 0 \) 。
\( x\left| x\right| - 3\left| x\right| - 4 = 0\; \Rightarrow \;{x}^{2} - {3x} - 4 = 0. \)
解得 \( x = \frac{3 \pm \sqrt{{3}^{2} + 4 \cdot 4}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \) 。于是 \( x = 4 \) 或 \( x = - 1 \) (舍去)。情况 \( 2 : x < 0 \) 。
\[ x\left| x\right| - 3\left| x\right| - 4 = 0\; \Rightarrow - {x}^{2} + {3x} - 2 = 0\; \Rightarrow {x}^{2} - {3x} + 4 = 0 \]
我们发现 \( \Delta < 0 \) 。因此第二种情况无实数解。答案为(B)。问题12。解答:(C)。
方法1(官方解答):
给方程编号
\[ \left| x\right| + x + y = {10} \tag{1} \]
\[ x + \left| y\right| - y = {12} \tag{2} \]
若 \( x \leq 0 \) ，则(1) \( \Rightarrow y = {10} \) 。于是(2) \( \Rightarrow x = {12} \) ，矛盾。因此 \( x > 0 \) 且
(1)变为
(3) \( {2x} + y = {10} \) .
若 \( y \geq 0,\left( 2\right) \Rightarrow x = {12} \) 。则 \( \left( 3\right) y = - {14} \) ，矛盾。因此 \( y < 0 \) 且方程(2)变为
(4) \( 2 - {2y} = {12} \) .
联立求解(3)和(4)，可得 \( x = {32}/5, y = - {14}/5 \) 和 \( x + y = \) 18/5。
方法二(我们的解法):
我们给方程编号:
\[ \left| x\right| + x + y = {10} \tag{1} \]
\[ x + \left| y\right| - y = {12} \tag{2} \]
情况1: \( x \leq 0, y \leq 0 \) 。
当 \( x \leq 0 \) 时，(1)变为 \( y = {10} \) (矛盾)。
情况2: \( x \geq 0, y \geq 0 \) 。
当 \( y \geq 0 \) 时，(2)变为 \( x = {12} \) 。
将该 \( x \) 值代入(1): \( y = - {14} \) (矛盾)。
\[ \text{Case 3:}x \leq 0, y \geq 0\text{.} \]
当 \( y \geq 0 \) 时，(2)变为 \( x = {12} \) (矛盾)。
\[ \text{Case 4:}x \geq 0, y \leq 0\text{.} \]
原方程组变为 \( \left\{ \begin{array}{l} {2x} + y = {10} \\ x - {2y} = {12} \end{array}\right. \) 。
解得: \( \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{32}{5}, \\ y = - \frac{14}{5} \end{array}\right. \) ，
\( x + y = \frac{18}{5}. \)
问题13。答案:(B)。
\( 2\sqrt{x - 3} + 6 = x\; \Rightarrow \;2\sqrt{x - 3} = x - 6. \)
平方后得到 \( {x}^{2} - {16x} + {48} = 0 \) 。
解得: \( {x}_{1} = {12},{x}_{2} = 4 \) (舍去)。
故答案为(B)。
问题14。答案:(C)。
首先我们将方程两边同时除以3:
\[ \frac{1}{1 - \sqrt{a - 2}} + \frac{1}{1 + \sqrt{a - 2}} = 2 \tag{1} \]
我们注意到 \( 1 - \sqrt{a - 2} \) 和 \( 1 + \sqrt{a - 2} \) 互为共轭，并且
\( \left( {1 - \sqrt{a - 2}}\right) \left( {1 + \sqrt{a - 2}}\right) = 3 - a. \)
因此由(1)可得 \( \frac{1 + \sqrt{a - 2} + 1 - \sqrt{a - 2}}{\left( {1 - \sqrt{a - 2}}\right) \left( {1 + \sqrt{a - 2}}\right) } = 2 \Rightarrow \frac{2}{3 - a} = 2 \)
\( \Rightarrow \frac{1}{3 - a} = 1\; \Rightarrow \;3 - a = 1 \Rightarrow a = 2 \) .
我们将 \( a = 2 \) 代入原方程进行验证，发现等式左右两边相等，从而确认其为解。
问题15。解答:(C)。
方法1:
将 \( \sqrt{5 - x} = x\sqrt{5 - x} \) 替换为 \( 5 - x = {x}^{2}\left( {5 - x}\right) \) 。该方程的解集
为 \( \{ 5,1, - 1\} \) ，而原方程的解集为 \( \{ 5,1\} \) 。
方法2:
\( \sqrt{5 - x} = x\sqrt{5 - x} \) 。若 \( 5 - x \neq 0 \) ，则除以 \( \sqrt{5 - x} \) 得到 \( x = 1 \) ；若 \( 5 - x = 0 \) ，
则 \( x = 5 \) 。
问题16。解答:(A)。
\( \sqrt[3]{{x}^{2}} + \sqrt[3]{x} = 6 \) 可写作 \( {\left( \sqrt[3]{x}\right) }^{2} + \sqrt[3]{x} - 6 = 0 \) (1)
令 \( y = \sqrt[3]{x} \) 。(1)变为: \( {y}^{2} + y - 6 = 0\; \Rightarrow \;\left( {y - 2}\right) \left( {y + 3}\right) = 0 \) 。
于是我们有 \( y = 2\; \Rightarrow \;\sqrt[3]{x} = 2\; \Rightarrow \;x = {2}^{3} = 8 \)
或 \( y = - 3\; \Rightarrow \;\sqrt[3]{x} = - 3\; \Rightarrow \;x = {\left( -3\right) }^{3} = - {27} \) 。
根的和为 \( 8 - {27} = - {19} \) 。
问题17。解答:(A)。
设 \( y = \sqrt{{x}^{2} - {5x} - 3} \) 。题中的方程可写为
\[ {y}^{2} - {2xy} + {x}^{2} = {16}\; \Rightarrow {\left( x - y\right) }^{2} = {16} \Rightarrow x - y = - 4\text{ or } \Rightarrow x - y = 4. \]
对于 \( x - y = - 4, x - \sqrt{{x}^{2} - {5x} - 3} = - 4 \Rightarrow x + 4 = \sqrt{{x}^{2} - {5x} - 3} \)
\( \Rightarrow \;{\left( x + 4\right) }^{2} = {x}^{2} - {5x} - 3 \Rightarrow \;{x}^{2} + {8x} + {16} = {x}^{2} - {5x} - 3 \)
\[ \Rightarrow \;{13x} = - {19}\; \Rightarrow \;x = - \frac{19}{13} \]
对于 \( x - y = 4, x - \sqrt{{x}^{2} - {5x} - 3} = 4 \Rightarrow x - 4 = \sqrt{{x}^{2} - {5x} - 3} \)
\( \Rightarrow \;{\left( x - 4\right) }^{2} = {x}^{2} - {5x} - 3 \Rightarrow \;{x}^{2} - {8x} + {16} = {x}^{2} - {5x} - 3 \)
\[ \Rightarrow \; - {3x} = - {19} \Rightarrow \;x = \frac{19}{13}. \]
\[ a + b = {19} + {13} = {32}. \]
问题18。解答:(D)。
设 \( x \) 为男孩人数， \( c \) 为独木舟费用。每人支付 \( \ $ c/x \) 。
\[ \frac{c}{x - 2} = \frac{c}{x} + 3\; \Rightarrow \;c\left( {\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x}}\right) = 3 \tag{1} \]
\[ \frac{c}{x + 1} = \frac{c}{x} - 1\; \Rightarrow \;c\left( {\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x}}\right) = - 1 \tag{2} \]
\[ \text{(1)} \div \text{(2):}\frac{\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x}}{\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x}} = \frac{3}{-1}\; \Rightarrow \; - \left( {\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x}}\right) = 3\left( {\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x}}\right) \Rightarrow \]
\[ - \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x} = \frac{3}{x + 1} - \frac{3}{x}\; \Rightarrow \;\frac{4}{x} = \frac{3}{x + 1} + \frac{1}{x - 2}\; \Rightarrow \]
\[ \frac{3}{x + 1} + \frac{1}{x - 2} - \frac{4}{x} = 0 \Rightarrow \;\frac{{3x}\left( {x - 2}\right) + x\left( {x + 1}\right) - 4\left( {x + 1}\right) \left( {x - 2}\right) }{\left( {x + 1}\right) \left( {x - 2}\right) x} = 0 \]
\[ \Rightarrow \;{3x}\left( {x - 2}\right) + x\left( {x + 1}\right) - 4\left( {x + 1}\right) \left( {x - 2}\right) = 0\; \Rightarrow \]
\[ 3{x}^{2} - {6x} + {x}^{2} + x - 4{x}^{2} + {4x} + 8 = 0 \Rightarrow \; - x + 8 = 0 \Rightarrow x = 8. \]
问题19。解答:(A)。
\[ x + \frac{1}{y} = 2\; \Rightarrow \;{xy} + 1 = {2y}\; \Rightarrow \;{xy} = {2y} - 1 \tag{1} \]
\[ {2y} + \frac{1}{z} = 1\; \Rightarrow \;\frac{1}{z} = 1 - {2y}\; \Rightarrow \;z = \frac{1}{1 - {2y}} \tag{2} \]
(1) \( \times \left( 2\right) : {xyz} = \frac{{2y} - 1}{1 - {2y}} = \frac{-\left( {1 - {2y}}\right) }{1 - {2y}} = - 1 \) .
问题20。解答:(A)。
给定方程可写为 \( {x}^{2} + 6 - \frac{1}{x - 2} = {5x} - \frac{1}{x - 2} \Rightarrow \)
\( {x}^{2} - {5x} + 6 = 0 \Rightarrow \left( {x - 2}\right) \left( {x - 3}\right) = 0 \)
于是 \( x = 3 \) ，而 \( x = 2 \) (增根)。
经检验，答案为 \( x = 3 \) 。问题21。解答:(A)。
设四个数为 \( x, x + 1, x + 2 \) ，以及 \( x + 3 \) 。
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 3} = \frac{19}{20} \]
已知 \( x < x + 1 < x + 2 < x + 3,\frac{1}{x} > \frac{1}{x + 1} > \frac{1}{x + 2} > \frac{1}{x + 3} \) 。
于是我们有 \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} > \frac{19}{20} \Rightarrow \frac{4}{x} > \frac{19}{20} \Rightarrow \frac{1}{x} > \frac{19}{20} \times \frac{1}{4}\; \Rightarrow x < \frac{80}{19} = 4\frac{4}{19} \)
我们还有 \( \frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x + 3} < \frac{19}{20} \Rightarrow \frac{4}{x + 3} < \frac{19}{20} \Rightarrow x + 3 > 4\frac{19}{20} \) \( \Rightarrow x > 1\frac{19}{20} \) 。
由于 \( x \) 是整数， \( x \) 可以是2、3或4。
仅当 \( x = 3 \) 时，我们才有 \( \frac{1}{3} + \frac{1}{3 + 1} + \frac{1}{3 + 2} + \frac{1}{3 + 3} = \frac{19}{20} \) 。
答案是 \( 3 + 4 + 5 + 6 = {18} \) 。